a^3+b^3

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Abend, 

Wie kommt man eigentlich auf diese Umformung ? Es ähnelt der bino. Formeln, aber ist es nicht..

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(a^3 - b^3) = (a - b) * (a^2 + ab + b^2)

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4 Antworten

ausmultiplizieren:

(a - b) * (a2 + ab + b2) = a3 + a2 b  + ab2 - ba2 - ab2 - b3 = a3 - b3  

die farbigen Terme heben sich auf

Man könnte auch eine Polynomdivision  (a3 - b3) : ( a - b) machen.

Gruß Wolfgang

Beantwortet von 86 k 🚀

Ist es so sánh schwer zu begreifen, dass man - wie in meiner Antwort - 

 (a-b) · (a2+ab+b2) ausmultiplzieren kann und dass dann a3- b3  herauskommt? 

Dann muss doch wohl (a-b) · (a2+ab+b2)  = a3- b3 sein, oder nicht?

Deine Antwort beantwortet nicht die Frage "Wie kommt man eigentlich auf diese Umformung ?", sie zeigt nur, dass die Umformung stimmt.

um mal etwas Licht ins dunkel zu bringen:

schreib mal anstelle von a x:

Dann hast du

f(x)=x^3-b^3

Den Term kann man als Funktion von x auffassen. Da es eine verschobene Potenzfunktion dritten Grades ist , gibt es immer genau eine Nullstelle. Nun kann man bei Polynomen Nullstellen als Linearfaktor abspalten. Dann Faktorisiert der Term in den Linearfaktor und eine Restpolynom einen Grad tiefer. Dieses kann man dann wie folgt berechnen:

(jetzt wieder mit a statt mit x)

Ansatz:

a^3-b^3 = (a-b)*(Aa^2+Ba+C)

Xem thêm: ly hồn ký

Ziel ist es nun A,B,C herauszufinden. Dazu multipliziert man aus und sortiert nach den Potenzen von a:

1a^3+0a^2+0a-1b^3

=Aa^3+(B-Ab)a^2 +(C-bB)a-bC

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor a^n jeweils links und rechts übereinstimmen. Dies ergibt 4 Gleichungen:

A=1

0=B-Ab ---> B= b

0=C-bB

-b^3=-bC ---> C=b^2

Also ist a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Beantwortet von 37 k

Huhu Tigz,

vllt noch ein Ansatz, wenn wirklich nur a^3 - b^3 vorliegt.

Du sollst Du nun faktorisieren. Faktorisieren kann man in dem man bspw die Nullstellen sucht. Das kannst Du (wie in den anderen Antworten bereits beschrieben) über die Polynomdivision erreichen. Um eine Nullstelle durchzuführen, musst Du nun eine Nullstelle finden. Das ist hier recht leicht, trifft nämlich für a = b zu. Damit ergibt sich eine Polynomdivision zu

(a^3 - b^3) / (a - b) = a^2+ab+b^2

Damit hast Du genau was Du brauchst -> a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

Alles klar?

Grüße

Beantwortet von 140 k 🚀

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