Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân & Bài Tập

Công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân là nội dung bài học kinh nghiệm yên cầu chúng ta học viên cần thiết ghi lưu giữ rõ rệt nhằm dễ dàng và đơn giản vận dụng nhập bài bác tập luyện. Đây cũng chính là dạng toán thông thường bắt gặp nhập kì ganh đua ĐH, chính vì vậy Vuihoc tiếp tục mang lại cho những em học viên bài bác tổ hợp tương đối đầy đủ công thức về cung cấp số nằm trong cung cấp số nhân.

1. Cấp số nằm trong và cung cấp số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Trong công tác toán trung học phổ thông, cung cấp số nhân là 1 mặt hàng số vừa lòng ĐK số thứ hai của mặt hàng số này là tích của số đứng trước với cùng 1 số ko thay đổi. Số ko thay đổi này được gọi là công bội của cung cấp số nhân. Từ cơ tớ đem khái niệm về cung cấp số nhân như sau:

Bạn đang xem: công thức cấp số cộng cấp số nhân

Un là cung cấp số nhân tương tự với un+1=un.q, nhập cơ n∈N
q là công bội và q được tính: $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Số hạng tổng quát

Để rất có thể tính số hạng tổng quát mắng của cung cấp số nhân, tất cả chúng ta vận dụng công thức sau:

un =u1. Qn-1

Tính hóa học của cung cấp số nhân

Công thức cung cấp số nằm trong cung cấp số nhân và tính chất

Tổng n số hạng đầu

tổng n số hạng đầu công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

1.2. Cấp số cộng

Cấp số nằm trong được dùng để làm duy nhất mặt hàng số vừa lòng số đứng sau bởi vì tổng của số đứng trước với một số trong những ko thay đổi. Số ko thay đổi này gọi là công sai.

Dãy số cung cấp số nằm trong rất có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ cơ tất cả chúng ta đem ấn định nghĩa:

Un là cung cấp số nằm trong nếu: u_n + 1 = u_n + d

Trong cơ đem d là công sai = u_n + 1 – u_n

Số hạng tổng quát

Chúng tớ tính được số hạng tổng quát mắng bằng phương pháp trải qua số hạng đầu và công sai đem công thức như sau:

u_n = u₁ + (n – 1)d

Tính hóa học cung cấp số cộng

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$

Tổng n số hạng đầu

$S_{n} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}; n\in \mathbb{N}^{*}$

$S_{n} = nu_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}d$

$S_{n} = \frac{n[2u_{1} + (n - 1)d]}{2}$

2. Tổng hợp ý những công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

Công thức cung cấp số nhân cung cấp số nằm trong rất dễ dàng ghi lưu giữ. Đây là những công thức đem tương quan cho tới độ quý hiếm đặc thù của 2 dạng mặt hàng số này.

2.1. Công thức cung cấp số cộng

Công thức cung cấp số nằm trong tổng quát:

u_n= u_m+ (n-m)d

Từ công thức tổng quát mắng bên trên tớ suy rời khỏi số hạng thứ hai trở cút của cung cấp số cộng bằng tầm nằm trong của 2 số hạng ngay lập tức kề nó.

$u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, \forall k \geq 2$

Ví dụ: Số hạng thứ hai của cung cấp số nằm trong là từng nào biết số hạng loại 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức tớ đem số hạng thứ hai của cung cấp số nằm trong là: u₂ = u₇ + (2 - 7)d = 100 - 5.2 = 90

Chúng tớ đem 2 công thức nhằm tính tổng n số hạng đầu so với cung cấp số nằm trong. Ta có:

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}u_{k} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng trăng tròn số hạng đầu của cung cấp số nằm trong biết cung cấp số nằm trong đem số hạng đầu bởi vì 3 và công sai bởi vì 2.

Giải:

Áp dụng công thức tớ có:

$S_{20} = \frac{20.(2.3 + 19.2)}{2} = 440$

2.2. Công thức cung cấp số nhân

Ta xét những cung cấp số nhân tuy nhiên số hạng đầu và công bội không giống 0. Điều cơ đem nghĩa toàn bộ những số hạng của cung cấp số nhân không giống 0. Ta đem công thức cung cấp số nhân:

u_n=u_m.q^n-m

Ví dụ: hiểu số hạng loại 8 của cung cấp số nhân bởi vì 32 và công bội bởi vì 2. Tính số hạng loại 5 của cung cấp số nhân

Giải:

Áp dụng công thức tớ có:

Giải bài bác tập luyện công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

Từ công thức bên trên tớ suy rời khỏi được những công thức:

u_n = u₁.q^n-1, $\forall$ n $\geq$ 2

$u_{k}^{2} = u_{k - 1}. u_{k + 1}$ , $\forall$ k $\geq$ 2

Tổng n số hạng đầu cung cấp số nhân được xem bám theo công thức:

$S_{n}=\sum{k=1}^{n}=u_{1}.\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cung cấp số nhân đem số hạng đầu bởi vì 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cung cấp số nhân.

Giải: kề dụng công thức tớ có:

Giải bài bác tập luyện ví dụ công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cung cấp số nhân lùi vô hạn và bài bác tập

Đăng ký ngay lập tức và để được những thầy cô kiến thiết suốt thời gian ôn ganh đua trung học phổ thông đạt 9+ sớm ngay lập tức kể từ bây giờ

3. Một số bài bác tập luyện về cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân (kèm lời nói giải chi tiết)

Bài 1: Tìm tứ số hạng tiếp tục của một cung cấp số nằm trong hiểu được tổng của bọn chúng bởi vì trăng tròn và tổng những bình phương của bọn chúng bởi vì 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng cơ thứu tự là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này tớ có:

Bài tập luyện công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

Kết luận tứ số tất cả chúng ta cần thiết dò thám thứu tự là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cung cấp số cộng:

(u_n): $\left\{\begin{matrix} u_{5} + 3u_{3} - u_{2} = -21\\ 3u_{7} - 2u_{4} = -34 \end{matrix}\right.$

Hãy tính số hạng loại 100 của cung cấp số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, tất cả chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} 3(u_{1} + 6d) - 2(u_{1} + 3d) = -34\\ u_{1} + 4d +3(u_{1} + 2d) - (u_{1} + d) = -21 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = -7\\ u_{1} +12d = -34 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 2\\ d = -3 \end{matrix}\right.$

Xem thêm: đại chúa tể chương mới nhất

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cung cấp số cộng

$u_{n}: \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính công sai, công thức tổng quát mắng cung cấp số nằm trong tiếp tục cho tới.

Giải:

Gọi d là công sai của cung cấp số nằm trong tiếp tục cho tới, tớ có:

$\left\{\begin{matrix} (u_{1} + d) - (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 4d) = 10\\ u_{1} + 3d + (u_{1} + 5d) = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = 10\\ u_{1} + 4d = 13 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Công sai của cung cấp số nằm trong bên trên d=3, số hạng tổng quát mắng là u_n= u₁+(n-1)d = 3n-2

Bài 4: Cho cung cấp số cộng

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính S = u₁ + u₄+ u₇+…+ u₂₀₁₁?

Giải:

Ta đem những số hạng u₁, u₄, u₇,…,u₂₀₁₁ lập được trở nên một cung cấp số nằm trong bao hàm 670 số hạng và đem công sai d’ = 3d. Do cơ tớ có:

$S = \frac{670}{2}(2u_{1} + 669d') = 673015$

Bài 5: Cho cung cấp số nằm trong hãy xác lập công sai và công thức tổng quát:

Giải:

Gọi d là công sai của cung cấp số nằm trong, tớ có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} - (u_{1} + 2d) + u_{1} + 4d = 10\\ u_{1} + 3d + u_{1} + 5d = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 2d = 10\\ u_{1} + 6d = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Vậy tớ đem công sai của cung cấp số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (u_n) đem những số hạng không giống 0 hãy dò thám u₁ biết rằng:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{3} + u_{4}^{4} = 85\\ u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = 15 \end{matrix}\right.$

Giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2}(1 + q^{2} + q^{4} + q^{6}) = 85\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3}) = 15 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\frac{q^{4} - 1}{q - 1} = 15\\ u_{1}^{2}\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1} = 85 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\frac{q^{4} - 1}{q - 1})^{2} (\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1}) = \frac{45}{17} \Leftrightarrow \frac{(q^{4} - 1)(q + 1)}{(q - 1)(q^{4} = 1)} = \frac{45}{17}$

$\Leftrightarrow$ q = 2 hoặc q = $\frac{1}{2}$

Kết luận u₁= 1 hoặc u₁= 8

Bài 7: Cho cung cấp số nhân sau:

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Hỏi 5 số hạng đầu của cung cấp số nhân bên trên là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cung cấp số. Theo giải thiết tất cả chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2} = 243u_{1}q^{7}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{243} = q^{5}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q = \frac{1}{3}\\ u_{1} = 2 \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cung cấp số nhân cần thiết dò thám là u₁= 2, u₂= 23, u₃= 29, u₄= 27, u₅= 281

Bài 8: Cho cung cấp số nhân sau:

$(u^{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cung cấp số nhân?

Giải:

$S_{10} = u_{1}\frac{q^{10} - 1}{q - 1} = 2.\frac{(\frac{1}{3})^{10} - 1}{q - 1} = \frac{59048}{19683}$

Bài 9: Cho cung cấp số nhân thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

Hãy tính công bội và công thức tổng quát mắng của cung cấp số nhân bên trên.

Giải:

a. Từ fake thiết tuy nhiên đề bài bác tiếp tục cho tới tớ có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{2} + u_{3} + u_{4} = \frac{39}{11}\\ u_{1} + u_{1}q^{4} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{q^{4} + 1}{q^{3} + q^{2} +q} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow (q - 3)(3q - 1)(13q^{2} + 16q + 13) = 0$

$\Leftrightarrow q = \frac{1}{3}$ hoặc q = 3

Trong TH $q = \frac{1}{3} \Leftrightarrow u_{1} = \frac{81}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{81}{11}\frac{1}{3^{n-1}}$

Trong TH q = 3 $\Leftrightarrow u_{1} = \frac{1}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{3^{n - 1}}{11}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ rơi rụng gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập bám theo sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học tới trường lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks hùn bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test không lấy phí ngay!!

Hy vọng những công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân tuy nhiên VUIHOC mang lại phần nào là hùn chúng ta ghi lưu giữ hiệu suất cao và và giới hạn sơ sót nhập quy trình giải bài bác tập luyện cung cấp số cộng, cấp số nhân nhập công tác Toán 11. Các chúng ta học viên hãy ĐK khóa đào tạo giành cho học viên lớp 12 ôn ganh đua trung học phổ thông bên trên Vuihoc.vn nhé! Chúc chúng ta ôn ganh đua thiệt hiệu suất cao.

Xem thêm: cúp điện tôi bị bạn cùng phòng hôn trộm

>> Xem thêm:

Tổng hợp ý công thức Toán 12 ôn ganh đua trung học phổ thông Quốc gia

Ôn ganh đua toán chất lượng nghiệp THPT