Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng nhập tam giác vuông.

Bạn đang xem: hệ thức lượng trong tam giác thường

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tao có:

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vày tổng những bình phương của nhì cạnh còn sót lại trừ cút nhì đợt tích của nhì cạnh tê liệt nhân với $cosin$ của góc xen thân thích bọn chúng.

Ta sở hữu những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của ấn định lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính chừng lâu năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ sở hữu những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là chừng lâu năm những đàng trung tuyến thứu tự vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân thích một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh tê liệt vày 2 lần bán kính của đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo dõi một trong số công thức sau

Xem thêm: tập làm văn lớp 5 tả cây cối

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp, bk đàng tròn trĩnh nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác tê liệt.

3. Giải tam giác và phần mềm nhập việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) không biết của tam giác Lúc tiếp tục biết một số trong những nhân tố của tam giác tê liệt.

Muốn giải tam giác tao cần thiết mò mẫm nguyệt lão tương tác Một trong những góc, cạnh tiếp tục mang đến với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức đang được nêu nhập ấn định lí cosin, ấn định lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các câu hỏi về giải tam giác: Có 3 câu hỏi cơ phiên bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng ấn định lí sin nhằm tính cạnh còn sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng ấn định lí cosin nhằm tính cạnh loại tía.

Sau tê liệt người sử dụng hệ trái ngược của ấn định lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với câu hỏi này tao dùng hệ trái ngược của ấn định lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

1. Cần cảnh báo là một trong tam giác giải được Lúc tao biết 3 nhân tố của chính nó, nhập tê liệt nên sở hữu tối thiểu một nhân tố chừng lâu năm (tức là nhân tố góc ko được vượt lên trước 2)

2. Việc giải tam giác được dùng nhập những câu hỏi thực tiễn, nhất là những câu hỏi đo lường.